介绍

门序列是实现数字电路的基础，其中的门通常是与或非门。门序列的DFT指离散傅里叶变换，当所有的门都是与或非门时，门序列的DFT始终为零。但是这一现象的原因并不是很明显，本文将对门序列的DFT为零的原因进行解释。

傅里叶分析

为了更好地理解门序列的DFT，我们需要先回顾一下傅里叶分析。傅里叶分析是将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的过程，从而更好地理解这个信号。DFT是傅里叶分析的离散版本，可以在数字系统中应用。

与或非门

与或非门是数字电路中最基础的门，所有其他的逻辑门都可以由它们衍生而来。在与或非门中，逻辑“与”可以表示为逻辑和的积，逻辑“或”可以表示为逻辑和的和，逻辑“非”表示为逻辑和的差。

门序列的组合

门序列指的是由与或非门组成的数字电路。通过不同的组合，可以实现各种各样的逻辑功能。门序列的输出可以看作是一个非常长的信号。

门序列的周期

当我们对门序列进行DFT时，我们看到一个循环信号，这是由门序列的周期性造成的。门序列的周期可以从其组成的门的逻辑函数和过程中推导出来。正因为这个周期性，当所有门都是与或非门时，门序列的DFT始终为零。

推导公式

为了更好地理解门序列的DFT为零的原因，我们现在给出其详细推导：

假设门序列的周期是N，那么DFT的值可以表示为：

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n) e^{-j(2\pi/N)kn}$$

其中k是DFT的频率，x(n)是周期性门序列的值，N是周期。

因为所有门都是与或非门，逻辑函数只能是“与”、“或”和“非”操作，这意味着与周期N相关的函数只包含1项或0项。为了方便推导，设“与”、“或”和“非”操作的值为1和0，那么周期性函数可以写成二进制序列：$$x(n)=x(n+N)$$

由于x(n)只包含二进制值，$x(n+N)$的值只能根据x(n)的值确定。因此，当x(n)是一个周期性的二进制序列时，$x(n+N)$也是一个周期性的二进制序列。每个周期的长度都是N除以一个数字，在单一的周期循环中，所有长度都是整数。

我们再来看一下DFT的公式，对于所有k，$\omega_{N}^{kn}$都是周期性的：

$$\omega_{N}^{kn}=\big(e^{-j(2\pi k/N)}\big)^{n}=e^{-j(2\pi k/N)n}=\omega_{N}^{k(n+N)}$$

这意味着，对于所有k，在N周期内的所有总和都相等。因此，当门序列的周期为N时，DFT的总和为零。

结论

由于门序列中的所有门都可以表示为与或非操作，因此门序列的周期性函数只包含1项或0项。这意味着当所有门都是与或非门时，门序列的DFT始终为零。这种现象源于所有函数都可以表示为逻辑“与”、“或”和“非”操作，并且所有的函数都是周期性的。这一结论在数字系统研究和设计中具有一定的实际价值。