余式怎么做

在中国数学史上，余式是一种重要的计算方法，广泛应用于各个学科领域。如果你是初学者，你可能会对余式产生困惑，本文将介绍余式的定义和运算，帮助你更好地理解和掌握此方法。

一、余式的定义

余式，又称为余数，是除法运算中除数未被整除的部分。对于整数a和b(b≠0)，如果a÷b=q余r（其中q是商，r是余数），则r为a除以b的余数。例如，对于16÷3=5余1，余数为1。

二、余式的运算法则

余式有两种运算法则，一种是加减法余式运算，一种是乘法余式运算。

1.加减法余式运算

在余式加减法运算中，如果a÷b=q1余r1，c÷b=q2余r2，那么a±c÷b=q1±q2余(r1±r2)。例如，要计算(17+13)÷5的余数，可以先计算17÷5和13÷5的余数，即2和3，然后将它们加起来，得到5，余数为0。

2.乘法余式运算

在乘法余式运算中，如果a÷b=q1余r1，c÷b=q2余r2，那么a×c÷b=q1×q2+b(q1×r2+q2×r1)+r1×r2。例如，要计算25×37÷6的余数，可以先计算25÷6和37÷6的余数，即1和1，然后按照公式计算得到187，余数为1。

三、怎样用余式解题

余式常用于数论和代数问题中，如整数的奇偶性判断、同余方程的求解等。下面以一个求最大公约数的例子来讲解怎样用余式解题。

求48和60的最大公约数（gcd）。

（1）用辗转相除法，将大数除以小数，得到：

60÷48=1……12

（2）用辗转相除法，将小数除以余数，得到：

48÷12=4……0

（3）因为余数为0，所以gcd=12。

（4）余式的应用：可知48÷12和60÷12的余数都为0，所以它们有相同的因数12，而不能再被其他因数整除，故12是它们的最大公约数。

四、余式的应用

除了上述求最大公约数的例子，余式还有许多其他的应用，比如判断整数的奇偶性、求解同余方程、计算多项式的值等。

1.判断整数的奇偶性

如果n除以2的余数为0，那么n是偶数；如果n除以2的余数为1，那么n是奇数。例如，判断25是奇数还是偶数，可以用25÷2=12……1，所以25是奇数。

2.求解同余方程

同余方程的形式为a≡b(mod m)，其中a、b、m为整数，表达式a≡b(mod m)的意思是当a被m整除时，余数与b被m整除时余数相同。例如，要求解4x≡1(mod 7)，可以用余式的方法解得x≡2(mod 7)。

3.计算多项式的值

多项式的形式为f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，其中a0、a1、…、an均为实数系数，n为多项式的次数。例如，要计算f(x)=3×3+2×2+5在x=2时的值，可以用余式的方法代入，得到f(2)=3×23+2×22+5=31。

5、总结

余式是一种重要的数学计算方法，它广泛应用于各个数学领域中。我们可以用余式来判断整数的奇偶性、求解同余方程、计算多项式的值等等。掌握余式的方法和运算法则可以帮助我们更好地处理数学问题。