引言

68乘什么小于560？这是一个简单的小学数学问题，但很多人可能在一瞬间难以作出准确的计算。事实上，这背后涉及到一些有趣的数学知识，本文将深入探讨这个问题。

整数间的运算

要回答这个问题，我们首先需要了解一些关于整数间的运算规则。在乘法中，我们知道数乘积是两个因数相乘得到的结果。在本题中，我们需要找到一个因数，使得它与68相乘的积小于560。

试错法解题

一种最简单的解法是试错法。我们可以从小于68的正整数开始，一个一个试出68乘以哪个数小于560。如果我们从1开始，依次试出答案为1、2、3、4、5、6、7、8，即68乘以8等于544小于560，那么答案就是8。

数学公式解题

当然，试错法可能很快就能得到答案，但并不利于大规模计算。更快速的解法是基于数学公式。我们可以设要找的数为x，则有以下不等式：

为了求出x的最大整数解，我们可以将不等式两边都除以68：

这个式子的意思是，x小于560除以68的商。但我们要求的是最大整数解，因此需要向下取整，即得到：

这个式子告诉我们，如果x小于8且为整数，那么乘积就小于560。而如果x等于8，乘积便等于544，恰好小于560。

更复杂的问题

这个问题看起来很简单，但在实际应用中，问题往往更具挑战性。例如，如果我们要找到一个比68更大的整数，乘积比560小的最大整数解，该怎么做呢？这个问题需要稍微复杂的数学方法才能解决，例如二分法或双指针算法。

二分法解题

假设要找的数为x，我们可以先找到一个上限和下限，设为l和r。由于乘积必须小于560，我们可以根据题意设置r为560/68的整数，即8。然后，我们可以通过不断二分中间值来逼近最终答案。具体步骤如下：

初始化上限l为0，下限r为8。

计算中间值mid为(l+r)/2。

计算68乘mid的值。

如果68乘mid小于560，说明还可以往大的方向试探，令l=mid+1。

如果68乘mid大于或等于560，说明需要往小的方向试探，令r=mid-1。

重复上述步骤，直到找到满足条件的最大整数解。

这个算法的时间复杂度为O(log n)，因此对于很大的n也能够快速求解。

双指针算法解题

双指针算法是一种常用的数组遍历方法，它也可以用于解决特定问题。对于本题，我们可以想象一个长度为8的有序数组，数组中的元素为68*1, 68*2, …, 68*8。接下来，我们可以维护两个指针i和j，它们都从数组的左端开始遍历。当68*i乘积小于560时，i指针右移一位，否则j指针左移一位。具体步骤如下：

初始化i和j为数组的左端和右端。

计算68*i和68*j的乘积。

如果68*i乘积小于560，说明还可以往大的方向试探，令i指针右移一位。

如果68*j乘积大于等于560，说明需要往小的方向试探，令j指针左移一位。

重复上述步骤，直到找到满足条件的最大整数解。

结论

在本文中，我们介绍了如何解决68乘什么小于560这个问题。我们从试错法、数学公式、二分法和双指针算法四个角度来讨论了不同的解法。我们发现，在不同情况下，使用不同的方法可以快速解决问题。因此，我们在实践中要灵活选择合适的方法来解决不同的问题。